(1) و (2) واضحند. (3) نشان می دهد که سیستم ناسازگار است و (4) نشان می دهد که سیستم ناقص است. گودل نشان داد  که امکان اخیر می تواند در سیستمهای ریاضی روی دهد. بعضی از قضیه ناتمامیت گودل نتیجه گرفته اند که حتی اگر ما موفق شویم نظریه همه چیز را بسازیم و فرمالیزم این نظریه توضیحی از همه پدیده های موجود بدهد این نظریه علی الاصول کامل و نهایی نیست [13] برخی از فیلسوفان علم ریاضی را به جهت نداشتن موضوع واقعی و تجربی نبودن علم نمیشمرند اما از آنجا که بسیاری از نتایج ریاضی دارای کاربردهای تجربی و  سنجش پذیرند و از سوی دیگر ریاضی نیز سیستمی است که با فرضیه ها (hypothesis) آغاز می کند و بی آنکه در پی شناخت آنها باشد به نتیجه گیری از آنها می پردازد می توان ریاضی را نیز علم شمرد و در تعریف علم گفت: علم سیستمی است از فرضیه ها و نتایج آنها. که درستی شان یا به روش تجربی سنجیده می شوند یا بر بنیاد اصلهای منطقی.[14] کانت متافیزیک و ریاضیات را از دو نظر بس متفاوت می داند . نخست آنکه ریاضیات اگرچه تجربی نیست ولی از زمینه حس برخوردار است زیرا با زمان و مکان که صورتهای ناب نگرش حسی هستند سروکار دارد. برای نمونه برای پی بردن به درستی این گزاره که "خط راست کوتاهترین فاصله میان دو نقطه است" باید نگرشی از مکان داشته باشیم . نکته دیگر اینکه مفاهیم ریاضیات ساخته اندیشه ما هستند یعنی ما با تعریف مفاهیم آنها را می سازیم. از این رو گزاره های ریاضی درباره موضوعات واقعی نیستند و حال آنکه در متافیزیک سخن بر سر واقعیت است. فیلسوفانی نظیر دکارت اسپینوزا و لایب نیتس, میان ریاضیات و متافیزیک تفاوت بنیادی نمی دیدند. دکارت بر آن بود که روش ریاضی را به کل فلسفه گسترش دهد و همان روشی را که برای ساختن هندسه تحلیلی به کار برده بود در اندیشه های متافیزیکی نیز به کار بندد... کانت گزاره هایی نظیر "خط راست کوتاهترین فاصله میان دو نقطه است" را مانند دیگر گزاره های ریاضی با آنکه آزاد از تجربه (a priori) میشمارد ترکیبی می داند و نه تحلیلی. یعنی بر آن است که نمی توان از تحلیل مفهوم خط راست که مفهومی کیفی است به مفهوم کوتاهترین که مفهومی کیفی است رسید... پوزیتیویست های منطقی نظیر راسل با آنکه در مورد نخست با کانت هم اندیشه نیستند یعنی گزاره های ریاضی را تحلیلی و حتی همانگویی می دانند ولی در مورد دوم با او هم اندیشه اند.[15] مور و راسل بیش از هر چیز در واکنش به ایدآلیسم به تحلیل روی آوردند. از این منظر بسیاری از زیاده رویهای نظامهای ایدآلیستی نتیجه ابهام مفاهیم بکار رفته در آنهاست. از اینرو کوشیدند تا با تحلیل آن مفاهیم نادقیق بودن و ناروا بودن بسیاری از قضاوتهای متافیزیکی را آشکار کنند... به نظر راسل با آنکه زبانهای گوناگون از بسیاری نظرها متفاوتند ولی همه از ساختاری منطقی برخوردارند. ساختاری که به مثابه استخوان بندی آنهاست. برای ساختن زبانی دقیق که برای رساندن اندیشه های علمی و فلسفی شایسته باشد باید به این ساختار منطقی توجه داشت و جنبه های دیگر زبان را کنار گذاشت. راسل نشان داد نه تنها گزاره های ریاضی را می توان به زبان منطق درآورد و از اصول منطقی استنتاج کرد بلکه دیگر  گزاره های علمی و فلسف را نیز می توان به چنین زبانی که همانند زبان ریاضی نشانه ای (symbolic) باشد بیان کرد و با این کار معنی دقیق آن را سنجید. راسل و پیروان او بر آنند که بنیاد بسیاری از ابهامهای متافیزیکی را باید در زبان جستجو کرد. برای نمونه تصور جوهر, برآمده از مبتدا مسندالیه موضوع (subject) گرامری است و یا این اندیشه که چون درباره نبودن نیز می توان سخن گفت پس نبودن نیز از قسمی بودن برخوردار است ,برخاسته از زبان نادقیق است. به اعتقاد راسل وقتی گفته میشود: کوه طلا وجود ندارد. و شما می پرسید آن چیست که وجود ندارد ؟ و در پاسخ گفته می شود: کوه طلا. به نظر می آید برای چیزی که نیست نیز قسمی از هستی پذیرفته اید. برای از میان بردن این ابهام راسل نظریه ای پرداخته است بنام نظریه توصیف (theory of deion) که طبق آن بجای نسبت دادن بودن به یک شخص یا یک چیز چون موضوع گزاره آن را بعبارتی که وصف آن شخص یا چیز است نسبت می دهیم... به همین سان گزاره "کوه طلا وجود ندارد" می تواند به این صورت درآید: C وجود ندارد, به گونه ای که این گفته که X کوه و طلایی است, تنها آنگاه درست است که  Xو  C باشد اگر جز این باشد نادرست است. [16] راسل نظریه خود را تجربه گرایی منطقی یا تجربه گرایی تحلیلی می نامد و در تفاوت نظر خود با فیلسوفانی چون لاک و هیوم می گوید: آنان به نقش منطق و ریاضی توجهی نداشتند. او درباره تفاوت نظر خود با فیلسوفان خردگرا نیز میگوید آنان ریاضیات را ساخته اصلهای نهادی می شمردند و از اینرو برای آن احترامی راز آمیز داشتند و حال آنکه فیلسوفان تحلیلی دقت و استواری ریاضیات را نه برخاسته از اصلهای خرد بلکه نتیجه صوری بودن یعنی بی محتوی بودن آن میدانند و بر آنند که گزاره های ریاضی قسم همانگویی(tautology)  هستند... تحلیل منطقی که برای مور و راسل فقط بخشی از فلسفه بود برای پوزیتیویستهای منطقی تنها کار فلسفه شمرده شد. نمایندگان پوزیتیویسم منطقی با آنکه توجهی ویژه  به اندیشه های راسل و ویتگنشتاین داشتند با تاکید برعلم و دستاوردهای علمی کار فلسفه را فقط و فقط تحلیل مفاهیم برشمردند و بویژه کوشیدند تا معیاری بدست دهند که طبق آن بیشتر بخشهای فلسفه بویژه متافیزیک بی معنی شمرده شوند.گزاره تحلیلی آن است که درستی یا نادرستی آن تنها با تکیه بر معنی و تعریف مفاهیمی که در آن بکار رفته اند روشن می شود. گزاره های منطقی و ریاضی چنین اند. برای نمونه برابر بودن شعاعهای یک دایره برآمده از تعریف دایره است. به عبارت دیگر گفتن اینکه شعاعهای یک دایره با هم برابرند همانا گفتن آن است که دایره دایره است. (همانگویی و توتولوژیک بودن کلام) و از سوی دیگر نتیجه صوری بودن یعنی بی معنا بودن آنهاست. (یعنی این دست گزاره ها دربارهء موضوعات واقعی نیستند). گزاره هایی که تحلیلی نباشند ترکیبی اند. معنی و درستی گزاره های ترکیبی فقط و فقط توسط تجربه سنجیدنی است. از این رو گزاره ای ترکیبی که در تجربه سنجش پذیر نباشد نادرست یا بی معناست. یعنی اصل تحقیق پذیری یا همان سنجش پذیری (the principle of verifiability) معیار همه گزاره های ترکیبی است. از این منظر هر گزاره ای که از قلمرو سنجش تجربی بیرون باشد و امکان سنجیدن آن نیز در مبان نباشد (سنجش پذیری در اصل _in principle_ و در عمل _actual_) بی معنی است. با این معیار بیشتر گزاره های فلسفی و متافیزیکی بی معنی شمرده می شوند. البته یادآور میشوند که مرادشان از بیمعنی چیزی است که معنای دقیق رعلمی و تجربی ندارد و مقصودشان بی ارزش ناروا و بی اهمیت شمردن این گزاره ها نیست. انتقادهای فزاینده ای که پوزیتیویسم منطقی با آن روبرو گردید عمدتاً بر این پایه بود که خود اصل سنجش پذیری که گزاره ای است ترکیبی و نه تحلیلی سنجش پذیر نیست و از سوی دیگر به این نکته توجه شد که هم معنی دار بودن بسی گسترده تر از معنی داری در قلمرو علم و تجربه است و هم کاربرد زبان بس گسترده تر از آن است که به قلمرو علم و منطق که فقط با گزاره ها سروکار دارند و به دیگر جمله ها نمی پردازند محدود شود. ویتگنشتاین بر این باور بود که بسیاری از پرسشها یا معماهای فلسفی برخاسته از چگونگی های زبان و نتیجه گرفتار آمدن فیلسوفان به افسون زبان است. با این همه به این اندیشه رسید که به جای کوششی برای یافتن یا ساختن یک زبان کامل بدانسان که آرمان راسل بود باید به روشنگری زبانهای عادی برآمد. زیرا یافتن یک ساختار منطقی که همه زبانها از آن بر خوردار باشند ممکن نیست. [17] مطالعه فیزیک ما را به طرز تفکر پوزیتیویستی رسانیده است. ما هرگز نمیتوانیم درک کنیم که حوادث چه هستند بلکه باید به وصف شبکه ترتب حوادث به مدد ریاضیات اکتفا کنیم. مادام که بشر حواس دیگری غیر از آنچه فعلاً داراست در اختیار نداشته باشد هدف دیگری در این زمینه ممکن نیست. (معادلات ریاضی) هرگز نفس طبیعت را توصیف نمی کنند و فقط ملاحظات ما را درباره طبیعت بیان می کنند. [18] قضایای تحلیلی و ترکیبی چنانکه می دانیم در تمام احکام رابطه محمولی با موضوعی در نظر گرفته می شود. کانت می گوید این رابطه بر دو قسم است. یا محمول ِBِ در مفهوم موضوع A  مندرج و منطوی است. یعنی تعلق محمول به موضوع به نحوی است که جزئی از مفهوم موضوع و بعبارت دیگر ضمنی آن است. و یا در عین ارتباط به موضوع امری است به کل خارج از مفهوم آن. در صورت اول حکم تحلیلی یا قبلی است و در حالت دوم حکم ترکیبی است یا بعدی... احکام موجبه تحلیلی احکامی هستند که رابطه محمول و موضوع آنها رابطه هوهویه (اینهمانی) است. البته مراد کانت اینهمانی مفهومی است یعنی در احکام تحلیلی نوعی اینهمانی (ولو اینهمانی جزئی) وجود دارد. در صورتی که در احکام ترکیبی اینگونه اینهمانی در کار نیست. نشانه تمام احکام قبلی این است که بدون استثناء اولاً دارای ضرورت مطلق اند ثانیاً دارای کلیت مطلق. و این تصور کلیت و ضرورت هر دو تصوری است ورای تجربه. چه این حکم که فلان چیز ضرورتاً و به نحو کلی وجود دارد ناشی از تجربه نیست. زیرا که تجربه همواره امور متغیر و غیر ثابت را به ما عرضه می دارد نه امور کلی و ضروری را. احکام تحلیلی را می توان احکام توضیحی (explicative) نیز نامید و احکام ترکیبی را هم احکام (extensive). وجه تسمیه عنوان نخست این است که محمول, هیچ چیز به موضوع نمی افزاید بلکه آن را به شرح باز می نماید و تفصیل می دهد. یعنی اجزایی را که به نحو مجمل و مبهم در آن وجود دارد به نحو صریح روشن می سازد. و تناسب عنوان دوم برای این است که معنی موضوع را با افزودن معنای تازه بدان گسترش می دهد... احکام تحلیلی محتویات موضوع را از راه تجزیه و تحلیل بسط می دهد و بنابراین هیچ علم تازه ای به انسان نمی دهد. در صورتی که احکام ترکیبی چیزی را که در موضوع منطوی نیست برای آن اثبات می کند و بنابراین چیزی تازه به مفهوم موضوع ضمیمه می شود. چیزی که هرگز از طریق تجزیه مفهوم موضوع بدست نمی آید. پس قضیه ترکیبی قضیه ای است بعدی (a posteriori) ... احکام تجربی همه ترکیبی اند. در صورتی که احکام تحلیلی اینچنین نیستند. چه من برای حکم تحلیلی حاجتی ندارم که از مفهوم موضوع خارج شوم و به گواهی تجربه استناد جویم... در احکام تحلیلی پیش از رجوع به هرگونه تجربه تمام شرایط حکم را در ضمن مفهوم موضوع در اختیار دارم و تنها کاری که باید انجام دهم این است که مطابق اصل تناقض محتویات حقیقی موضوع را از آن بیرون بکشم و باز به آن اسناد دهم. و در این حال من کاملاً به ضرورت حکم خود آگاهی خواهم داشت. در حکم به اینکه "هر جسمی دارای وزن است" وزن به نحو ترکیب به مفهوم جسم افزوده می شود. مفهوم جسم بطور کلی به هیچ وجه متضمن معنی وزن نیست. پس باید وزن داشتن کلیه اجسام منحصراً از را تجربه بدست آید... بوترو می گوید در نظر پیشینیان وزن داشتن جسم خاصیت لازم جسم است.اما در نظر کسی که نیوتنی بیندیشد وزن جسم عبارتست از جاذبه ای که از جسم دیگر بر آن وارد می آید و بنابراین خارج از ماهیت جسم است. [19] به اعتقاد برخی "بعضی احکام در عین حال هم ترکیبی اند و هم قبلی. و در بعضی از علوم همین قضایا به کار می رود. مثلاً در ریاضیات محض و فیزیک محض حال چنین است. یعنی احکام اساسی آنها صرفاً از همین نوع احکام تشکیل یافته است. در ریاضیات هر استدلال تحلیلی همواره با یک عمل ترکیبی توأم است. و همین عمل ترکیبی است که استدلال را بر اشیاء, معین و منطبق می سازد و آن را مطابق طبیعت و ماهیت اختصاصی اشیاء انجام می دهد. درباره قضایای هندسی نیز وضع به همین منوال است. یعنی قضایای هندسی در عین اینکه قبلی اند ترکیبی نیز هستند و ترکیبی بودن آنها به مراتب مشهودتر از ریاضیات است. مثلاً این قضیه که "کوتاهترین فاصله بین دو نقطه خط مستقیم است" در بادی امر به سبب شدت وضوح و بداهت به نظر تحلیلی می آید در صورتی که در حقیقت ترکیبی است. چه آنکه  تصور کیفیت را با تصور کمیت با هم می آمیزد. "مستقیم" کیف است و "کوتاه" کم. و این دو تصور کاملاً مختلف الجنس اند. بنابراین با پیوستن آنها به یکدیگر ذهن به عمل ترکیب دست زده است. همچنین به نظر کانت فیزیک نیز از زمان نیوتن علمی است که در مدارج عالی خود قبلی و عقلانی است. اما معلوم است که مبادی آن ترکیبی است... برخی از منطقیان معاصر مانند تریکو (Tricot) این تقسیم بندی را مورد انتقاد قرار داده و گفته اند که تحلیلی بودن یا ترکیبی بودن امری نسبی است. زیرا که مفهوم موضوع در نزد افراد مختلف و متفاوت است و اطلاعات همه درباره یک موضوع, یکسان نیست. برای بعضی تصوری است پرمایه و غنی و برای بعضی دیگر کم مایه و فقیر. بنابراین یک قضیه ممکن است برای کسی تحلیلی باشد و برای دیگری ترکیبی. و به بیان دیگر تحلیلی و ترکیبی بودن امری اعتباری است. [20]   روابط بین مفاهیم قبلی و پیشینی (a priori) که بدون هیچگونه استعانت تجربه معلوم عقل هستند. عبارت از دستگاه معرفتی است که کلاً مستقل از دستگاه تجربه و حتی مستقل از تمام تأثرات حواس است. از دیدگاه کانت معرفت پیشینی از هر جهت برتر از معرفتی است که به وسیله تجربه و ملاحظه ( وبه قول دکارت) استدلال ریاضی پیدا شده باشد. معرفت قبلی بالضروره قابل تطبیق با هر نوع تجربه ممکن است در صورتی که معرفت تجربی که فقط در نتیجه تجارب و یا ملاحظات محدودی بدست آمده است نمی تواند چنین ادعایی داشته باشد. همچنین معرفت قبلی قابل تطبیق در هر عالم ممکنی است و شمول قواعد آن منحصر به این عالم نیست. لاک (Locke) و هیوم Hume)) در این قول متفق بودند که حقایق ریاضیات خالص ممکن است متکی بر شهود و علم حضوری باشد. وایتهد (Whitehead) و راسل (Russell) نیز به همین عقیده اند ولی استوارت میل (john Stuart mill) مخالف این نظر است و معتقد است که قواعد ریاضیات تعمیم احکامی است که از ملاحظه اشیاء خارج بدست می آید. [21] اگر فلاسفه درباره امکان حصول معرفت قبلی راجع به عالم اجسام اختلاف داشتند همه آنها جز دکارت و استوارت میل اصولاً موافق بودند که معرفتی مجرد از ماده مانند ریاضیات فقط بوسیله یک فرآیند ذهنی (Mental process) بدون استعانت از تجربه عالم خارج ممکن است بدست آید به قسمی که این معرفت واقعاً ممکن است قبلی باشد. [22] برخی از احکام و قضایایی که در بادی امر قبلی (a priori) به نظر می رسند به اعتباری مبنای تجربی دارند. بعقیده کانت احکامی چون "فضا سه بعد دارد" و "از دو نقطه فقط یک خط مستقیم می گذرد" اصولی هستند که بصورت کاملاً قبلی  (a priori) و بدون اتکای به حس و تجربه در ذهن تولید شده اند. حکم اول را تا حد زیادی میتوان تجربی دانست نه یک حکم قبلی. درباره حکم دوم باید گفت که این حکم یک حکم هندسی است که تنها در فضای اقلیدسی درست است. کانت معتقد بود که هندسه اقلیدسی به معنایی درست است و سایر هندسه ها بدان معنات درست نیستند. در هندسه اقلیدسی این حکم یک اصل موضوع است. اما این اصل در هندسه های لباچفسکی و ریمانی برقرار نیست. بنابراین مسلم است که این حکم جنبه قبلی ندارد بلکه در هندسه اقلیدسی درست و در دو هندسهء دیگر نادرست است. "این سه هندسه چنانکه پوانکاره ثابت کرد هیچ رجحانی به لحاظ مطابقه با واقع بر یکدیگر ندارند." [23] بنا براین حکم مذکور نمی تواند یک معرفت قبلی اصیل باشد چنانکه راسیونالیستها دعوی آن را دارند. کانت حکمی نظیر 12=5+7 را یک حکم ترکیبی قبلی می داند بدین معنی که کافیست که یک مرتبه به مدد انگشتان این عمل جمع در یک حالت خاص انجام شود تا حقیقت این حکم به نحوی ظاهر شود. اگر غرض از 7 و 5 و امثال آن صرف عدد باشد حکم 12=5+7 جز تعریف دوازده چیز دیگری نیست. البته تعریف را هیچکسی نمی تواند معرفت قبلی بنامد و اگر غرض معدود باشد باید طبیعت آن چیز شمرده شده قبلاً معلوم باشد تا روشن گردد این حکم درباره آن صادق است یا نه. در غیر این صورت 12=5+7 درباره هر معدودی صادق نیست. بدیهی است که مقصود از این حکم باید اشیاء خارجی حقیقی تعبیر شود. در این حالت مقصود از این قضیه این است 7 چیز غیر مشخص را با 5 چیز از همان نوع جمع کنیم در مجموع 12 چیز از همان چیز خواهیم داشت. به کودک نشان می دهند که وقتی دو سیب با دو سیب دیگر روی هم گذاشته می شود نتیجه مجموعه چهار سیب است ومی بیند که همین حکم درباره انگشتان یا پول خرد صادق است و سپس به این نتیجه می رسد که این حکم برای هر نوع چیزی که ما تصور کنیم صادق است. معرفت درباره سیب ها و انگشتها به تصدیق هر کسی تجربی است. مدعای راسیونالیست ها این است که امکان تعمیم از سیب ها و انگشت ها به سایر اشیاء یک معرفت قبلی است. اگر معنی واقعی این حکم همین است آیا این حکم نیز مثال دیگری از معرفت ناقص و بی تاملی که علامت قبلی به آن زده اند نیست؟ زیرا تعمیم این حکم فقط برای بعضی طبقات اشیاء و در برخی موارد صادق است. و محال است که در حالت خاصی بدون اطلاع تفصیلی از آن حالت آن را صحیح دانست و اینگونه اطلاع از طبیعت آن حالت هرگز نمی تواند معرفت قبلی باشد. چنانکه نمی دانیم وقتی دو قطره باران با دو قطره باران دیگر روی پنجره با هم جمع شوند درباره آن چه باید گفت؟ اگر دو نفی را بر دو نفی دیگر بیفزاییم نتیجه چیست؟ واضح است که این حکم فقط درباره اشیایی صادق است که عینیت (identity) یا همانی آنها را در فرایند (process) جمع فیزیکی محفوظ داریم و نمی توانیم قبلاً بدانیم آیا فلان گونه چیزها دارای چنین خاصیتی است یا نه. [24] یک حکم مانند 4=2+2 ممکن است به یکی از دو طریق صحیح باشد. به موجب معرفت بعدی یا به موجب معرفت قبلی. ولی اینگونه حکم درباره اشیاء عالم خارج صادق نیست مگر اینکه اشیاء نوعی قید و شرط داشته باشند. این شرایط بی اطلاع از جهان خارج گفتنی و به طریق اولی به کار بردنی نیست به قسمی که این حکم وقتی درباره چیزهای حقیقی به کار رود به بداهت عقلی یک معرفت بعدی است. بعبارت دیگر ما قبلاً از درستی حکم درباره آن نوع از اشیایی که در نظر داریم اطمینان حاصل می کنیم. پس آن حکم فقط معرفتی را که ما قبلاً در آن نهاده ایم به ما باز می دهد.  اما حکم مذکور ممکن است درباره انواعی از اشیاء ذهنی نیز که ما آنها را در عالم ذهن سازگار با آن حکم ساخته ایم صادق باشد. از این طریق البته این حکم یک معرفت قبلی خالص است ولی در عین حال هرگز درباره عالم خارج چیزی بما نمی آموزد بلکه شمول آن فقط درباره تخیلات عالم ذهن ماست. مثلاً حکم 2+2=4 اگر درباره احتساب سیب بکار رود یک حکم بعدی است زیرا ما به اتکای تجربه عالم خارج اطمینان داریم که سیب در فرآیند جمع, عینیت فردی خود را حفظ می کند. ولی اگر این حکم را درباره سیمرغ بکار بریم یک معرفت قبلی است زیرا سیمرغ مخلوق ذهن ماست و ما آن را ذهناً طوری ساخته ایم که در فرآیند جمع عینیت خود را حفظ کند. [25] زمانی که احکام ریاضی درباره اشیاء خارجی به نحو بعدی به کار رود بیش از معرفتی که ما خود در آن نهاده ایم نمی توانند درباره عالم خارج بما مطلبی بیاموزند و اگر به نحو قبلی بکار روند هیچگونه اطلاعی درباره جهان بیرون بدست نمی دهند. " در ریاضیات محض (abstract mathematical) وضع به گونه کاملاً محسوسی متفاوت است. احکام قبلی که در ریاضیات مجرد و منتزع با آنها مواجهیم صرفاً از استنتاجات عقلی بدست آمده و متکی به عالم خارج نیستند. این احکام و قضایا با استدلال نظری خالص بدست آمده و مستلزم معرفت و یا تجربه ای در عالم خارج نیستند. بعنوان مثال این حکم که "7 عددی اول است" یک حکم کاملاً قبلی است و لی هیچ اطلاعی از ساختمان مخصوص جهان بدست نمی دهد و بین این حکم و عالم خارج هیچ ارتباطی نمی توان ساخت.

بعقیده کانت تمام قضایای حساب و بسیاری از اصول فیزیک از نوع معرفت قبلی ترکیبی (synthetic) هستند. بعنوان مثال قانون بقای ماده و قانون سوم نیوتن را برگزیده و بدین نحو بیان می کند:   در تمام تغییرات عالم مادی مقدار ماده ثابت می ماند و در تمام تحریکات, کنش و واکنش باید همیشه مساوی باشد. کانت خود قبول دارد که حکمی نظیر " تمامی اجسام سنگین هستند" در نتیجه ملاحظه این عالم معلوم می شود. و به محض قبول این امر حکم مذکور از مقوله معرفت قبلی خارج می شود . لذا بیان معرفت قبلی ترکیبی جز مصادره به مطلوب و نامی تازه برای معرفت بعدی چیزی نیست. این ادعاها مسائل زیر را مطرح می کند:

1) اگر معرفت قبلی ناشی از تجربه عالم خارج نیست از کجا سرچشمه می گیرد؟ راسیونالیستها مدعی اند که بنا بر معرفت قبلی هیرچیز باید علتی داشته باشد پس علت معرفت قبلی چیست؟
2) اگر معرفت قبلی ناشی از تجربه عالم خارج نیست چطور می تواند درباره عالم خارج چیزی بگوید؟ چرا وقتی به عالم خارج می پردازیم می بینیم که معرفت قبلی ما با آن سازگار است؟ [26] 

روشهای علمی مطالعه در علوم را بطور کلی می توان به دو گروه تقسیم کرد. یکی روشهای استقرایی که شخص با مطالعه و تعمق در جزئیات و مثالهایی که عمق تئوری کلی را نشان می دهد و آشنایی به جزئیات پس از مدتی راه خود را به قانون کلی که همه آن جزئیات را در بر می گیرد می یابد. لذا از طریق مثالها و مطالعه حالتهای خاصی به قانون کلی می رسیم... دیگری روشهای قیاسی که در آن از قانون کلی به مثالها و موقعیتهای خاص می رسیم. روش استقرایی در واقع یک روند طبیعی در شیوه تفکر آدمی به حساب می آید. در روشهای قیاس از تئوری به مثالها و حالات خاص می رسیم. بطور خلاصه می توان گفت که در روش استقرایی  تسلسل رشته های تفکر از جزء به کل و در روش قیاسی تسلسل از کل به جزء می باشد. در علوم طبیعی هر دو روش مورد استفاده قرار گرفته اما می توان گفت که قبلاً بیشتر تفکر در طریق روشهای استقرایی بوده است و به همین علت برای مدتهای طولانی تکامل علوم طبیعی در سطح مثالها و حالات خاص باقی مانده و قوانینی که در حالات عمومی قابل کاربرد باشند بدست نیامده است. از شروع قرن بیستم به علت مطالعات دامنه داری که در علوم طبیعی انجام گرفته تا حد زیادی زوایا و جزئیات گرایشات مختلف علوم طبیعی و نقش کلی آنها معلوم گشته است. لذا با تجربه و بینشی که از طریق روشهای استقرایی حاصل شده قدم به روشهای قیاسی گذاشته است. جایگزینی تئوریهای عمومی تر در آموزش های علوم طبیعی به جای تئوری های خاص نقطه نظرهای قیاسی واستقرایی را با هم ترکیب کرده است. [27] اصل استقراء هیچ توجیه عام یا کلی ندارد. مسئله کاملاً ساده است. برخی از استقراءها موجه هستند و برخی دیگر چنین نیستند. یا دقیق تر بگوییم برخی استقراءها معقول تر از دیگر استقراءها هستند... بر اساس یک مثال فلسفی کلاسیک این واقعیت که دیده ایم خورشید هر روز طلوع می کند و کل شناختی که از اختر شناسی داریم به ما دلایل موجهی میدهد که عقیده داشته باشیم فردا هم خورشید طلوع خواهد کرد. ولی این امر تلویحاً حاکی از آن نیست که خورشید ده میلیارد سال دیگر هم طلوع خواهد کرد. (در واقع نظریه های اختر شناسی فعلی پیش بینی می کنند که پیش از این تاریخ سوخت خورشید تمام خواهد شد) . به یک معنی ما همیشه با مشکل هیوم (Hume) روبرو می شویم که بیان می دارد: هرگز نمی توان هیچ گزاره ای درباره جهان واقعی را به معنی واقعی کلمه ثابت کرد. [28]

فلسفه استقرایی قدیم که منطق جان استوارت میل نمونه آن است ماهیت و دامنه استقراء را بسیار محدود تصور می کرد. استقراء با آنکه مؤدی به یقین کامل نیست اساس همه علوم حتی ریاضیات محض را تشکیل می دهد. در هرعلمی یک مجموعه از امور واقع (facts) داریم که تا حد امکان قوانین کلی آنها را به هم وابسته است. در توضیح صوری این امور به صورت استنتاجهایی از آن قوانین جلوه می کنند. این نکته لااقل در مورد پیشرفته ترین علوم مانند ریاضیات صدق می کند. اما واقعیت این است که قوانین از آن امور استقراء شده اند. نمی توان گفت که فلان یا بهمان امر, فلان یا بهمان قانون را اثبات می کند. باید گفت کل آن امور کل آن قوانین را اثبات می کند یه بعبارت بهتر محتمل می سازد. [29] می دانیم که دینامیک نیوتن توانست که بین علم فیزیک اجسام زمینی گالیله و علم فیزیک اجسام سماوی کپلروحدتی بوجود آورد. غالباً گفته می شود که دینامیک نیوتن را می توان با استقراء قوانین گالیله و کپلر بدست آورد و حتی گفته شده است که می توان آن را دقیقاً از این قوانین استنتاج منطقی نمود. اما چنین نیست. از نقطه نظر منطقی تئوری نیوتن هم با تئوری گالیله و هم با تئوری کپلر در تناقض آشکار است. (گرچه وقتی تئوری نیوتن را داشته باشیم دو تئوری اخیر را می توان بعنوان تقریب از آن تحصیل نمود). به همین دلیل استنتاج تئوری نیوتن  از تئوری گالیله یا کپلر و یا هر دو چه از طریق قیاس (deduction) و چه از طریق استقراء (induction) ناممکن است. زیرا که هرگز نمی توان در یک استنتاج,  چه قیاسی و چه استقرایی, از مقدمات سازگار به نتیجه ای رسید که منطقاً با همان مقدمات ناسازگار باشد. من این را یک حجت بسیار قوی علیه استقراء می پندارم. این نکته قابل توجه است اگر ما بخواهیم از تئوریهای گالیله و کپلر به سوی تئوری های عام تری از قبیل تئوری نیوتن رهسپار شویم نمی توانیم از خود این تئوریها کوچکترین اشاره ای بدست آوریم که چگونه باید در آنها تغییر و تعدیل مناسب ایجاد نمود (چه مقدمات غلطی باید به کار گرفته شود یا چه قیودی اخذ گردد) تنها پس از داشتن تئوری نیوتن است که می توانیم پی ببریم که آیا اصلاً تئوریهای قدیمی تر تقریبی از آن هستند یا نه. همه اینها نشانگر آن است که منطق, خواه قیاسی و خواه استقرایی, ممکن نیست که بتواند از این دو تئوری به دینامیک نیوتنی برسد. [30] برای بررسی منطق استدلال قیاسی و استقرایی ودر تحلیل شیوه ذهن و تداعیهای حافظه همچنین نباید جنبه های روانشناختی استدلال کردن (to reason) را از نظر دور داشت. " زنجیره ی اندیشه های ما غالباً یک شکل حجت (Argument) دارد که در آن گزاره ای در نقش حکم (claim) یا نتیجه (conclusion) است که ما در پی استنتاج (to draw) آن هستیم و بقیه گزاره ها دلایل حکم یا مقدمات (premises) نتیجه محسوب می شود. قواعد منطق جوابگوی همه وجوه استدلال قیاسی نیست . اینگونه قواعد را تنها شکل گزاره ها فرا می خوانند اما توانایی ارزیابی حجت قیاسی غالباً تابع محتوای گزاره ها نیز هست. منطق دانان دریافته اند که حجت معینی به رغم آنکه با منطق قیاسی سازگار نیست باز هم ممکن است نادرست نباشد. این قبیل حجت ها از توان استقرایی  (Inductive strength) برخوردارند. بدین معنی که در صورت صادق بودن مقدمات,  نامحتمل است که نتیجه کاذب باشد. ما مدام سرگرم ساختن و ارزیابی حجت های استقرایی هستیم. آیا آدمی در این موارد همانند منطق دانان و ریاضی دانان بر قواعد نظریه احتمالات تکیه میکند؟ یکی از این قواعد که به بحث ما مربوط می شود قاعده نرخ پایه rate)_(base است. طبق این قاعده, احتمال تعلق شیء به یک طبقه ,متناسب با تعداد اعضای آن طبقه (یعنی بالا بودن نرخ پایه) است. بنابراین پشتوانه استقراء, احتمالات است و نه امور یقینی. منطق دانان نیز معتقدند منطق استقرایی باید بر نظریه احتمالات تکیه کند. طی سلسله آزمایشهای هوشمندانهء روشهای رهنمودی heuristics)) نشان داده شده است که مردم در قضاوتهای استقرایی خود از قواعد نظریه احتمالات تخطی می کنند. مخصوصاً تخطی از قاعده نرخ پایه بسیار رواج دارد.[31] به هر ترتیب مطابق با همه آنچه که گفته شد می توانیم نتیجه بگیریم که ریاضیات, آنجا که دربرگیرنده احکام تحلیلی Analytic)) است, دارای کلیت و ضرورت منطقی است. اما این کلیت و ضرورت نه از بابت اصالت خردگرایانه راسیونالیستی که به واسطه نوعی همانگویی (tautology) است. از این رو کلی و ضرور بودن احکام تحلیلی ریاضیات اعتبار و اهمیت فلسفی بدان نمی بخشد. از دیگر سو آنجا که با احکام ترکیبی (synthetic) مواجهیم دیگر ضرورت و کلیتی در کار نیست و صدق و کذب گزاره های ترکیبی در تجربه معین می گردند.

منابع

1) فیزیک و فلسفه/ جیمز جینز [pp.11_13]

2) تحلیلی از دیدگاههای فلسفی فیزیکدانان معاصر/دکتر مهدی گلشنی/[pp. 222_223]

3) [Ref.2/p.35]

4) [Ref.2/p.218]

5) [Ref.2/pp. 224_225]

6) [Ref.2/pp. 230_231]

7) [Ref.2/pp. 224_225]

8) درآمدی به فلسفه/دکتر میرعبدالحسین نقیب زاده [p.230]

9) [Ref.2/p.234]

10) نسبیت گرایی معرفت شناختی در فلسفه علم/ آلن سوکال  ,ژاک بریمون [pp.97_101] 

11) [Ref.2/p.239]

12) [Ref.2/pp.247_248]

13)  [Ref.2/p.34]

14) [Ref.8/p.8]

15) [Ref.8/p.208]

16) [Ref.8/PP.238_239]

17) [Ref.8/pp.241_243]

18)  [Ref.1/p.23]

19) منطق صوری, جلد دوم/ دکتر محمد خوانساری [pp.268_270]

20) [Ref.19/p.272]

21) [Ref.18/pp.45_47]

22) [Ref.18/p.56]

23) [Ref.18/p.51]

24) [Ref.1/pp.57_58]

25) [Ref.1/pp59_60]

26) [Ref.1/pp.61_62]

27) فلسفه علم/جلد دوم/دکتر مسعود دهقانی [pp.4_5]

28) [Ref.10/pp.97_101]

29) عرفان و منطق/پراگماتیسم/ برتراند راسل/ترجمه نجف دریابندری[p.118]

30)  هدف علم/کارل پوپر/ترجمه سعید بهمن پور [pp.128_134]
K. popper, ive knowledge
 (oxford university press,1975),pp191_205

31)  زمینه روانشناسی هیلگارد/ جلد اول [pp.580_584]